MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN

Función Creciente y Decreciente.

• Una función es "creciente" cuando el valor de y aumenta a medida que aumenta el valor de x:

• Una función es "decreciente" cuando el valor de y disminuye a medida que aumenta el valor de x:

Extremos Relativos.

Máximo relativo: En una función un valor es el máximo relativo si es mayor que cualquiera de los valores que le anteceden y que le siguen.

Mínimo relativo: En una función un valor es el mínimo relativo si es menor que uno cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Consideremos f función de valor real, y (a, b) es un intervalo en el que la función f se define y es diferenciable. Además, si c se considera como el punto crítico de f en (a, b), entonces:

• Si f ’ ( x ) > 0 ( mayor que 0 ) para todos x < cy f ’ ( x ) < 0 ( menor que 0 ) para todos x >, entonces f ( c ) se considerará como el valor máximo de la función f en el intervalo a, b.
• Si f ’ ( x ) < 0 ( menor que 0 ) para todos x > cy f ’ ( x ) > 0 ( mayor que 0 ) para todos x <, entonces f ( c ) se considerará como el valor mínimo de la función f en el intervalo a, b.

En conclusión podemos decir que un punto se determina como el máximo de una función si la función aumenta antes y disminuye después, mientras que un punto se considera como el mínimo si la función disminuye antes y aumenta después de eso.

El criterio de la primera derivada permite encontrar si un punto es máximo, mínimo o ninguno.

• Si la derivada es negativa en el lado izquierdo del punto crítico y positiva en el lado derecho del punto crítico, entonces el punto crítico se considera como mínimo.
• Si la derivada es positiva en el lado izquierdo del punto crítico y negativa en el lado derecho del punto crítico, entonces el punto crítico se considera como máximo.
• En cualquier otra situación, el punto crítico no será máximo ni mínimo.

Como encontrar los puntos máximo y mínimo relativo aplicando el criterio de la primera derivada.

Paso 1: Aplicar la primera derivada a la función dada.

Paso 2: Establecer el equivalente derivado en 0 y resuelva la ecuación para determinar cualquier punto crítico.

Paso 3: Pruebe los valores antes y después de los puntos críticos para encontrar si la función que se da está aumentando ( derivado positivo ) o disminuyendo ( derivado negativo ) alrededor del punto, con esto determinamos en que intervalos la función es creciente  y decreciente. 

Luego debemos observar los siguiente puntos 

• Si la primera derivada cambia de positiva a negativa en el punto dado, entonces el punto se determina como un máximo local.
• Si la primera derivada cambia de negativa a positiva en el punto dado, entonces el punto se determina como un mínimo local.
• Si el primer derivado no cambia en el punto dado, entonces el punto dado no se considerará como un máximo o mínimo local.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Aplicar este criterio al igual que el primero permite encontrar los puntos críticos y determinar su punto máximo relativo y mínimo relativo.

Si hay extremos podemos deducir la monotonía de la función es decir su concavidad.

CONCAVIDAD HACIA ARRIBA: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia arriba alrededor de un punto, si la gráfica queda por arriba de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. 

CONCAVIDAD HACIA ABAJO: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia abajo alrededor de un punto, si la gráfica queda por abajo de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. En este caso también se puede decir que la curva es convexa.

Como encontrar los puntos máximo y mínimo relativo aplicando el criterio de la segunda derivada.

Paso 1: Aplicar la primera derivada a la función dada.

Paso 2: Establecer el equivalente derivado en 0 y resuelva la ecuación para determinar cualquier punto crítico.

Paso 3: Hallamos la segunda derivada.

Paso 4: Sustituimos los puntos críticos en la función de la segunda derivada, para saber si es negativo o positivo y saber su concavidad.

Podremos encontrar ejercicios resueltos en el apartado de "Videos"